Задача №15340

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Сумма кредита 1400 тыс. руб. на 10 лет. Первые 5 лет долг уменьшается ежегодно на $d_1\text{,}$ следующие 5 лет — на $d_2\text{.}$ Условие: $5d_1+5d_2=1400\Rightarrow d_1+d_2=280\text{.}$

Долг на июль каждого года:
2025: 1400; 2026: $1400-d_1\text{;}$ ... 2030: $1400-5d_1\text{;}$ 2031: $1400-5d_1-d_2\text{;}$ ... 2035: 0.

Платеж в году $t\text{:}$ $0,1\cdot D+d\text{,}$ где $D$ — долг на июль предыдущего года.

Выплаты:
2026: $140+d_1$
2027: $140+0,9d_1$
2028: $140+0,8d_1$
2029: $140+0,7d_1$
2030: $140+0,6d_1$
2031: $140-0,5d_1+d_2$
2032: $140-0,5d_1+0,9d_2$
2033: $140-0,5d_1+0,8d_2$
2034: $140-0,5d_1+0,7d_2$
2035: $140-0,5d_1+0,6d_2$

Суммируем: постоянная часть $140\cdot 10=1400\text{;}$ коэффициенты при $d_1\text{:}$ $1+0,9+0,8+0,7+0,6-5\cdot 0,5=4-2,5=1,5\text{;}$ при $d_2\text{:}$ $1+0,9+0,8+0,7+0,6=4\text{.}$
Общая сумма: $1400+1,5d_1+4d_2\text{.}$

Подставляем $d_2=280-d_1\text{:}$

$$1400+1,5d_1+4(280-d_1)=1400+1,5d_1+1120-4d_1=2520-2,5d_1.$$

Уравнение: $2520-2,5d_1=2120\Rightarrow 2,5d_1=400\Rightarrow d_1=160\text{.}$

Платёж в 2026 году: $140+d_1=140+160=300\text{.}$