Задача №15309

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $A\text{,}$ если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?

Кредит на $A$ млн руб. на 24 месяца. Ежемесячное уменьшение долга: $\frac{A}{24}\text{.}$
Остаток долга на начало $k$-го месяца: $A-\frac{(k-1)A}{24}=\frac{(25-k)A}{24}\text{.}$
Платёж в $k$-м месяце: $\frac{A}{24}+0,03\cdot \frac{(25-k)A}{24}=\frac{A}{24}(1+0,03(25-k))\text{.}$
Общая сумма платежей в 2028 году (месяцы $k=13$ до $k=24$):

$$S=\frac{A}{24}\sum _{k=13}^{24}(1+0,03(25-k))=\frac{A}{24}\sum _{k=13}^{24}(1,75-0,03k).$$

Сумма: ${\sum }_{k=13}^{24}1,75=21\text{,}$ ${\sum }_{k=13}^{24}k=222\text{,}$ поэтому сумма в скобках: $21-0,03\cdot 222=21-6,66=14,34\text{.}$
Итак, $S=\frac{A}{24}\cdot 14,34=17,925$ (млн ру

б).

$$A=\frac{17,925\cdot 24}{14,34}=1,25\cdot 24=30.$$