Задача №15304

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца ($r$ — целое число);

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.

Пусть $D_k$ — долг (в тыс. рублей) на 15-е число месяца $k$ ($D_0=1100$). По условию для $k=1,\dots ,15$ выполняется $D_k=D_{k-1}-d\text{,}$ а $D_{15}=500\text{,}$ откуда $d=\frac{1100-500}{15}=40\text{.}$ Тогда $D_k=1100-40k$ для $k=0,\dots ,15\text{.}$ Долг на 15-е число 16-го месяца $D_{16}=0\text{.}$

Выплата в месяце $k$ равна $D_{k-1}\cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)-D_k\text{.}$ Общая сумма выплат:

$$\sum _{k=1}^{16}\left(D_{k-1}\cdot \left(1+\frac{r}{100}\right)-D_k\right)=\left(1+\frac{r}{100}\right)\sum _{k=0}^{15}{D}_k-\sum _{k=1}^{16}{D}_k=1100+\frac{r}{100}\sum _{k=0}^{15}{D}_k.$$

Вычисляем сумму:

$$\sum _{k=0}^{15}{D}_k=\frac{1100+500}{2}\cdot 16=12800.$$

Подставляем в уравнение:

$$1228=1100+\frac{r}{100}\cdot 12800\Rightarrow \frac{r}{100}\cdot 12800=128\Rightarrow r=1.$$

Ответ: $r=1$