15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно A , если общая сумма платежей в 2027 году составит 2508 тыс. рублей?

Пусть кредит составляет A млн рублей, срок 60 месяцев. Ежемесячное уменьшение долга на 15-е число равно (A)/(60). Обозначим D_k — долг на 15-е число месяца k после выплаты, где месяц 0 соответствует 15 декабря 2026 года, D_0 = A. По условию долг уменьшается равномерно: D_k = D_(k-1) - (A)/(60) для k=1,2,,60. Следовательно, D_k = A - k*(A)/(60) = A*(60-k)/(60). Проценты начисляются 1-го числа месяца k на долг D_(k-1) (остаток на конец предыдущего месяца). Таким образом, проценты за месяц k равны 0.02* D_(k-1) = 0.02* A*(61-k)/(60), поскольку D_(k-1) = A*(60-(k-1))/(60) = A*(61-k)/(60). 2027 год включает месяцы k=1 до k=12 (с января по декабрь 2027). а) Сумма выплат в счёт долга за 2027 год: 12*(A)/(60) = (A)/(5) = 0.2A. б) Сумма процентов за 2027 год: 0.02A*( (60)/(60) + (59)/(60) + + (49)/(60)). Сумма в скобках — арифметическая прогрессия из 12 членов с первым членом 1 и последним (49)/(60): (12*(1 + 4960))/(2) = 6*(109)/(60) = (109)/(10) = 10.9. Значит, проценты: 0.02A* 10.9 = 0.218A. в) Общая сумма платежей в 2027 году: 0.2A + 0.218A = 0.418A. По условию это 2508 тыс. рублей = 2,508 млн рублей: 0.418A = 2.508=> A = (2.508)/(0.418) = 6. Ответ: 6 млн рублей.

\(6\)