Задача №15247

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $A\text{,}$ если общая сумма платежей в 2027 году составит 2508 тыс. рублей?

Пусть кредит составляет $A$ млн рублей, срок 60 месяцев. Ежемесячное уменьшение долга на 15-е число равно $\frac{A}{60}\text{.}$

Обозначим $D_k$ — долг на 15-е число месяца $k$ после выплаты, где месяц 0 соответствует 15 декабря 2026 года, $D_0=A\text{.}$ По условию долг уменьшается равномерно: $D_k=D_{k-1}-\frac{A}{60}$ для $k=1,2,\dots ,60\text{.}$ Следовательно,

$$D_k=A-k\cdot \frac{A}{60}=A\cdot \frac{60-k}{60}.$$

Проценты начисляются 1-го числа месяца $k$ на долг $D_{k-1}$ (остаток на конец предыдущего месяца). Таким образом, проценты за месяц $k$ равны

$$0.02\cdot D_{k-1}=0.02\cdot A\cdot \frac{61-k}{60},$$

поскольку $D_{k-1}=A\cdot \frac{60-(k-1)}{60}=A\cdot \frac{61-k}{60}\text{.}$

2027 год включает месяцы $k=1$ до $k=12$ (с января по декабрь 2027).

а) Сумма выплат в счёт долга за 2027 год:

$$12\cdot \frac{A}{60}=\frac{A}{5}=0.2A.$$

б) Сумма процентов за 2027 год:

$$0.02A\cdot \left(\frac{60}{60}+\frac{59}{60}+\cdots +\frac{49}{60}\right).$$

Сумма в скобках — арифметическая прогрессия из 12 членов с первым членом 1 и последним $\frac{49}{60}\text{:}$

$$\frac{12\cdot \left(1+\frac{49}{60}\right)}{2}=6\cdot \frac{109}{60}=\frac{109}{10}=\mathrm{10.9.}$$

Значит, проценты: $0.02A\cdot 10.9=0.218A\text{.}$

в) Общая сумма платежей в 2027 году:

$$0.2A+0.218A=0.418A.$$

По условию это 2508 тыс. рублей = 2,508 млн рублей:

$$0.418A=2.508\Rightarrow A=\frac{2.508}{0.418}=6.$$

Ответ: $6$ млн рублей.