Решите неравенство log32(25−x2)−3log3(25−x2)+2≥0.
ОДЗ: 25−x2>0 ⇒ x2<25 ⇒ x∈(−5,5).
Введём замену t=log3(25−x2). Тогда неравенство принимает вид:
t2−3t+2≥0.Решаем квадратное неравенство: (t−1)(t−2)≥0 ⇒ t≤1 или t≥2.
Возвращаемся к исходной переменной.
1) log3(25−x2)≤1. Так как основание 3>1, то 25−x2≤31=3 ⇒ x2≥22 ⇒ x≤−22 или x≥22.
Учитывая ОДЗ (−5,5), получаем x∈(−22,−5) – пусто, и (5,22) – пусто. Но 22≈4.69, поэтому x≥22 не входит в (−5,5).
Проверим границы: при x2=22 неравенство log3(3)=1 – выполняется.
Учитывая ОДЗ, x2<25, поэтому x2≥22 и x2<25 дают 22≤x2<25. Тогда x∈[−5,−22]∪[22,5], но так как ОДЗ строгое (x2<25), то x=±5. Окончательно для этого случая: x∈[−5,−22]∪[22,5), но −5 не входит из-за ОДЗ, поэтому x∈(−5,−22]∪[22,5).
2) log3(25−x2)≥2. Тогда 25−x2≥32=9 ⇒ x2≤16 ⇒ x∈[−4,4].
Объединяем решения из п.1 и п.2:
Из п.1: (−5,−22]∪[22,5).
Из п.2: [−4,4].
Объединение: (−5,−22]∪[−4,4]∪[22,5).
Заметим, что 22≈4.69>4, поэтому интервалы не пересекаются.
Ответ: x∈(−5,−22]∪[−4,4]∪[22,5).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ