Решите неравенство _8(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) _2(x^2 - 1) - 5.

Задача №15136: Неравенства

Заметим, что $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = (x - 1)^{3} .$ Перейдём в логарифмах к основанию 2:

lo g_{8} ((x - 1)^{3}) = \frac{3 lo g _{2} ∣ x - 1∣}{3} = lo g_{2} ∣ x - 1∣.

Неравенство принимает вид:
$lo g_{2} ∣ x - 1∣ ⩾ lo g_{2} (x^{2} - 1) - 5 .$

ОДЗ:

{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 > 0 \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1, x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow x < - 1 или x > 1.

С учётом ОДЗ: $x > 1,$ тогда $∣ x - 1∣ = x - 1 .$ Перенесём всё в одну сторону:

lo g_{2} (x - 1) - lo g_{2} (x^{2} - 1) + 5 ⩾ 0 \Rightarrow lo g_{2} \frac{x - 1}{x ^{2} - 1} + 5 ⩾ 0 \Rightarrow lo g_{2} \frac{1}{x + 1} ⩾ - 5.

Перейдём к алгебраическому неравенству (основание >1):

\frac{1}{x + 1} ⩾ 2^{- 5} \Rightarrow \frac{1}{x + 1} ⩾ \frac{1}{32} \Rightarrow \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{32} ⩾ 0 \Rightarrow \frac{32 - ( x + 1 )}{32 ( x + 1 )} ⩾ 0 \Rightarrow \frac{31 - x}{32 ( x + 1 )} ⩾ 0.

Метод интервалов с учётом $x > 1 :$
$\frac{31 - x}{x + 1} ⩾ 0 \Rightarrow x \in (- 1; 31] .$

Пересекаем с $x > 1 :$ $x \in (1; 31] .$

Проверим границу $x = 31 :$ подстановка в исходное неравенство даёт равенство, включаем.

Ответ:
$x \in (1; 31] .$