Задача №15244

Решите неравенство $\frac{2{\log }_3(9x)-13}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3{x}^4}⩽1\text{.}$

ОДЗ:

Преобразуем: ${\log }_3(9x)={\log }_{3}9+{\log }_{3}x=2+{\log }_{3}x\text{.}$

Обозначим $t={\log }_{3}x\text{.}$ Тогда числитель: $2(2+t)-13=4+2t-13=2t-9\text{.}$
Знаменатель: $t^2-4t=t(t-4)\text{.}$

Неравенство: $\frac{2t-9}{t(t-4)}⩽1\text{.}$ Переносим 1:

Числитель: $-t^2+6t-9=-(t^2-6t+9)=-(t-3{)}^2⩽0$ при всех $t\text{,}$ равен нулю при $t=3\text{.}$
Дробь $⩽0\text{,}$ когда числитель и знаменатель разных знаков или числитель равен нулю.
Так как числитель $⩽0$ всегда, дробь $⩽0$ когда знаменатель $>0$ или числитель равен нулю.
Знаменатель $t(t-4)>0\iff t<0$ или $t>4\text{.}$
Также дробь равна нулю при $t=3$ (числитель ноль, знаменатель $3(3-4)=-3\ne 0$).
Таким образом, неравенство выполняется при $t<0$ или $t>4$ или $t=3\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$ $t={\log }_{3}x\text{.}$

1) $t<0\iff 0<x<1\text{.}$
2) $t>4\iff x>3^4=81\text{.}$
3) $t=3\iff x=27\text{.}$

Проверим ОДЗ: знаменатель исходной дроби $t(t-4)\ne 0\Rightarrow t\ne 0,t\ne 4\text{.}$
В наших решениях $t=0$ не входит (это $x=1$), $t=4$ не входит (это $x=81$), но $x=81$ входит во второе условие $t>4\text{,}$ а не $t=4\text{,}$ поэтому подходит.

Ответ: $(0;1)\cup \{27\}\cup (81;+\infty )\text{.}$