Решите неравенство log62(2x2−10x+12.5)+1log2x2−log3x2⩾0.
Заметим, что log2x2=2log2∣x∣, log3x2=2log3∣x∣. Тогда разность
log2x2−log3x2=2(log2∣x∣−log3∣x∣)=2⋅ln2ln∣x∣−2⋅ln3ln∣x∣=2ln∣x∣(ln21−ln31)=2ln∣x∣⋅ln2ln3ln3−ln2.Так как ln3>ln2, то коэффициент при ln∣x∣ положителен. Поэтому знак числителя совпадает со знаком ln∣x∣, т.е. числитель ⩾0 при ∣x∣⩾1 и ⩽0 при 0<∣x∣⩽1.
Но нужно учесть ОДЗ: знаменатель log62(2x2−10x+12.5)+1>0 всегда, так как квадрат логарифма неотрицателен, плюс 1 даёт положительное число. Однако аргумент логарифма должен быть положительным: 2x2−10x+12.5>0.
Найдём дискриминант:
D=100−4⋅2⋅12.5=100−100=0.Значит, квадратный трёхчлен можно записать как
2(x2−5x+6.25)=2(x−2.5)2>0при всех x=2.5.Таким образом, ОДЗ: x=2.5.
Неравенство log62(2x2−10x+12.5)+1log2x2−log3x2⩾0 равносильно log2x2−log3x2⩾0. Как выяснили, это равносильно ln∣x∣⩾0, т.е. ∣x∣⩾1.
Учитывая ОДЗ, получаем: x⩽−1 или x⩾1, но x=2.5. Однако при x=2.5 неравенство не определено, поэтому оно исключается.
Ответ: (−∞;−1]∪[1;2.5)∪(2.5;+∞).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ