Задача №15128

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

$$T(t)=T_0+bt+a{t}^2,$$

где $t$ — время (в мин.), $T_0=1380\text{ К}\text{,}$ $a=-15\text{ К}/{\text{мин}}^2\text{,}$ $b=165\text{ К}/\text{мин}\text{.}$ Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1800\text{ К}$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

По условию прибор необходимо отключить, когда его температура превысит $1800\text{ К}\text{.}$ Найдём моменты времени, когда температура прибора равна $1800\text{ К}\text{.}$ Для этого решим уравнение:

$$T(t)=1800$$

Подставим значения параметров $T_0=1380\text{,}$ $a=-15\text{,}$ $b=165\text{:}$

$$1380+165t-15t^2=1800$$

Перенесём все члены в одну сторону и приведём уравнение к стандартному виду:

$$-15t^2+165t+1380-1800=0$$ $$-15t^2+165t-420=0$$

Разделим обе части уравнения на $-15\text{:}$

$$t^2-11t+28=0$$

Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$$D=(-11{)}^2-4\cdot 1\cdot 28=121-112=9$$ $$t_1=\frac{11-\sqrt{9}}{2}=\frac{11-3}{2}=4$$ $$t_2=\frac{11+\sqrt{9}}{2}=\frac{11+3}{2}=7$$

Графиком зависимости температуры от времени $T(t)$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Температура превышает $1800\text{ К}$ в интервале между корнями, то есть при $4<t<7\text{.}$ Чтобы прибор не испортился, его нужно отключить в момент времени, когда температура впервые достигнет критической отметки $1800\text{ К}\text{.}$

Следовательно, наибольшее время, которое может проработать прибор до отключения, составляет 4 минуты.

Ответ: 4