Задача №16620

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f=36$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение:

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}.$$

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Из соотношения $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$ выразим $d_1\text{:}$

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_2}.$$

Чтобы $d_1$ было наименьшим, необходимо, чтобы дробь $\frac{1}{d_1}$ была наибольшей. Это достигается при наименьшем значении вычитаемого $\frac{1}{d_2}\text{,}$ то есть при наибольшем возможном значении $d_2\text{.}$ По условию $d_2\in [160;180]\text{,}$ следовательно, берём $d_2=180\text{.}$

Подставим значения:

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{36}-\frac{1}{180}=\frac{5}{180}-\frac{1}{180}=\frac{4}{180}=\frac{1}{45}.$$

Значит, $d_1=45$ см.

Проверим, удовлетворяет ли полученное значение ограничению $d_1\in [30;50]\text{:}$

$$45\in [30;50].$$

Условие выполняется.

Ответ: 45.