Задача №15094

а) Решите уравнение

$$1-\cos 2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2\sin (x-\pi ).$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим уравнение, используя тождества:

$$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\Rightarrow 1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x,$$ $$\sin (x-\pi )=-\sin x\Rightarrow -2\sin (x-\pi )=2\sin x.$$

Подставим в уравнение:

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x.$$

Перенесем все в одну сторону:

$$2{\sin }^{2}x+(\sqrt{3}-2)\sin x-\sqrt{3}=0.$$

Замена $t=\sin x\text{:}$

$$2t^2+(\sqrt{3}-2)t-\sqrt{3}=0.$$

Дискриминант:

$$D=(\sqrt{3}-2{)}^2+8\sqrt{3}=7-4\sqrt{3}+8\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^2.$$

Корни:

$$t=\frac{-\sqrt{3}+2\pm (2+\sqrt{3})}{4}\Rightarrow t_1=1,t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Возвращаемся к $\sin x\text{:}$

1. $\sin x=1\text{:}$

$$x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2. $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{:}$

$$x=-\frac{\pi }{3}+2\pi m\text{или}x=\frac{4\pi }{3}+2\pi n,m,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]\text{:}$

• Для $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k\text{:}$ решаем неравенство

$$-5\pi ⩽\frac{\pi }{2}+2\pi k⩽-\frac{7\pi }{2}.$$

Получаем $k=-2\text{,}$ корень $x=-\frac{7\pi }{2}\text{.}$

• Для $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi m\text{:}$ решаем неравенство, получаем $m=-2\text{,}$ корень $x=-\frac{13\pi }{3}\text{.}$

• Для $x=\frac{4\pi }{3}+2\pi n\text{:}$ решаем неравенство, получаем $n=-3\text{,}$ корень $x=-\frac{14\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z};x=-\frac{\pi }{3}+2\pi m,m\in \mathbb{Z};x=\frac{4\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{7\pi }{2},-\frac{13\pi }{3},-\frac{14\pi }{3}$