Задача №18466 — Уравнения (Математика (профиль) ЕГЭ)

а) Решите уравнение sin 2x - 2sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) + 1 = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-(19pi)/(2);-8pi] .

а) Преобразуем уравнение. По формулам синуса двойного угла, синуса суммы и основного тригонометрического тождества: sin 2x = 2sin x cos x, 2sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) = 2sqrt(2)(sin x cos(pi)/(4) + cos x sin(pi)/(4)) = 2(sin x + cos x), 1 = sin^2 x + cos^2 x. Тогда 2sin x cos x - 2(sin x + cos x) + (sin^2 x + cos^2 x) = 0, (sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x) - 2(sin x + cos x) = 0, (sin x + cos x)^2 - 2(sin x + cos x) = 0, (sin x + cos x)(sin x + cos x - 2) = 0. Получаем совокупность: [arrayl sin x + cos x = 0, sin x + cos x - 2 = 0. array. 1) Если sin x + cos x = 0 , то sin x = -cos x |: cos x != 0, tg x = -1, x = -(pi)/(4) + pi k, k in Z. 2) Если sin x + cos x - 2 = 0 , то sin x + cos x = 2, sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) = 2, sin(x + (pi)/(4)) = sqrt(2), x in , так как sqrt(2) > 1 . б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [-(19pi)/(2);-8pi] , концы этой дуги и лежащие на ней точки серии решений из пункта а). Решим неравенство -(19pi)/(2) -(pi)/(4) + pi k -8pi . Разделив на pi : -9,5 -0,25 + k -8, -9,25 k -7,75. Значит, k = -9 и k = -8 : k = -9: x = -(pi)/(4) - 9pi = -(37pi)/(4); k = -8: x = -(pi)/(4) - 8pi = -(33pi)/(4). Следовательно, на отрезке [-(19pi)/(2);-8pi] лежат точки -(37pi)/(4); -(33pi)/(4) .

а) \( -\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z} \);\quad б) \( -\dfrac{37\pi}{4};\ -\dfrac{33\pi}{4} \).