Задача №18466

а) Преобразуем уравнение. По формулам синуса двойного угла, синуса суммы и основного тригонометрического тождества:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ $$2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)=2(\sin x+\cos x),$$ $$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x.$$

Тогда

$$2\sin x\cos x-2(\sin x+\cos x)+({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=0,$$ $$({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)-2(\sin x+\cos x)=0,$$ $$(\sin x+\cos x{)}^2-2(\sin x+\cos x)=0,$$ $$(\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x-2)=0.$$

Получаем совокупность:

$$[\begin{array}{l}\sin x+\cos x=0,\\ \sin x+\cos x-2=0.\end{array}$$

1) Если $\sin x+\cos x=0\text{,}$ то

$$\sin x=-\cos x|:\cos x\ne 0,$$ $$\mathrm{tg}x=-1,$$ $$x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2) Если $\sin x+\cos x-2=0\text{,}$ то

$$\sin x+\cos x=2,\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2,\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2},$$

$x\in \varnothing \text{,}$ так как $\sqrt{2}>1\text{.}$

б) Отберём корни на тригонометрической окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $\left[-\frac{19\pi }{2};-8\pi \right]\text{,}$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серии решений из пункта а).

Решим неравенство $-\frac{19\pi }{2}⩽-\frac{\pi }{4}+\pi k⩽-8\pi \text{.}$ Разделив на $\pi \text{:}$

$$-9,5⩽-0,25+k⩽-8,-9,25⩽k⩽-7,75.$$

Значит, $k=-9$ и $k=-8\text{:}$

$$k=-9:x=-\frac{\pi }{4}-9\pi =-\frac{37\pi }{4};$$ $$k=-8:x=-\frac{\pi }{4}-8\pi =-\frac{33\pi }{4}.$$

Следовательно, на отрезке $\left[-\frac{19\pi }{2};-8\pi \right]$ лежат точки $-\frac{37\pi }{4};-\frac{33\pi }{4}\text{.}$