а) Решите уравнение 2sin^2((3pi)/(2)+x)+cos(pi-x)=0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2pi; -(pi)/(2)] .

а) Упростим уравнение, используя формулы приведения: sin((3pi)/(2)+x) = -cos x, cos(pi - x) = -cos x. Подставляем: 2(-cos x)^2 + (-cos x) = 0=> 2cos^2 x - cos x = 0. Выносим общий множитель: cos x(2cos x - 1) = 0 . Отсюда: 1) cos x = 0=> x = (pi)/(2) + pi n, nin Z ; 2) cos x = (1)/(2)=> x = +-(pi)/(3) + 2pi k, kin Z . б) Найдем корни на отрезке [-2pi; -(pi)/(2)] . Для x = (pi)/(2) + pi n : подставляем n = -1 и n = -2 , получаем x = -(pi)/(2) и x = -(3pi)/(2) ; оба входят в отрезок. Для x = (pi)/(3) + 2pi k : из неравенства -2pi (pi)/(3) + 2pi k -(pi)/(2) находим k = -1 , тогда x = (pi)/(3) - 2pi = -(5pi)/(3) . Для x = -(pi)/(3) + 2pi k : целых k , удовлетворяющих неравенству, нет. Итак, корни на отрезке: -(5pi)/(3), -(3pi)/(2), -(pi)/(2) .

а) \( \dfrac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) б) \( -\dfrac{5\pi}{3}, -\dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{2} \)