Задача №16805

а) Решите уравнение
$\frac{1}{{\cos }^2(3\pi +x)}-\frac{\sqrt{2}}{\cos x}+\frac{1}{14\cos x}-\frac{1}{7\sqrt{2}}=0\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[6\pi ;8\pi ]\text{.}$

а) Так как $\cos (3\pi +x)=-\cos x\text{,}$ то ${\cos }^2(3\pi +x)={\cos }^{2}x\text{.}$ ОДЗ: $\cos x\ne 0\text{.}$

Уравнение принимает вид:

$$\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{\sqrt{2}}{\cos x}+\frac{1}{14\cos x}-\frac{1}{7\sqrt{2}}=0.$$

Умножим обе части на $14\sqrt{2}{\cos }^{2}x\text{:}$

$$14\sqrt{2}-28\cos x+\sqrt{2}\cos x-2{\cos }^{2}x=0\iff 2{\cos }^{2}x+(28-\sqrt{2})\cos x-14\sqrt{2}=0.$$

Сгруппируем:

$$2\cos x(\cos x+14)-\sqrt{2}(\cos x+14)=0\iff (\cos x+14)(2\cos x-\sqrt{2})=0.$$

Так как $|\cos x|⩽1\text{,}$ корень $\cos x=-14$ невозможен. Остаётся:

$$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) На отрезке $[6\pi ;8\pi ]$ длиной $2\pi$ уравнение $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет ровно два корня:

$$x_1=6\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{25\pi }{4},x_2=8\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{31\pi }{4}.$$

Ответ:

а) $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{25\pi }{4},\frac{31\pi }{4}$