Задача №14910

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f=36$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}.$$

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Из формулы тонкой линзы

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$$

выразим $d_2\text{:}$

$$\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_1}\Rightarrow d_2=\frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{d_1}}=\frac{d_{1}f}{d_1-f}.$$

Подставим $f=36\text{:}$

$$d_2=\frac{36d_1}{d_1-36}.$$

По условию, $d_2\in [160;180]\text{.}$ Найдем наименьшее $d_1\text{,}$ при котором $d_2⩽180\text{:}$

$$\frac{36d_1}{d_1-36}⩽180.$$

Решим неравенство:

$$36d_1⩽180(d_1-36)\Rightarrow 36d_1⩽180d_1-6480\Rightarrow 6480⩽144d_1\Rightarrow d_1⩾45.$$

Проверим, что при $d_1=45$ значение $d_2$ попадает в допустимый интервал:

$$d_2=\frac{36\cdot 45}{45-36}=\frac{1620}{9}=180.$$

Так как $180\in [160;180]\text{,}$ условие выполняется.

Таким образом, наименьшее возможное $d_1$ равно 45.

Ответ: 45.