В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = at^2 + bt + H_0 , где H_0 = 3 м — начальный уровень воды, a = (1)/(768) м/мин^2 и b = -(1)/(8) м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Подставим числовые значения в формулу: H(t) = (1)/(768)t^2 - (1)/(8)t + 3. Вода будет вытекать, пока её уровень больше нуля. Найдём момент, когда H(t) = 0 : (1)/(768)t^2 - (1)/(8)t + 3 = 0 * 768; t^2 - 96t + 2304 = 0. Дискриминант: D = 96^2 - 4 * 2304 = 9216 - 9216 = 0. Значит, уравнение имеет единственный (кратный) корень: t = (96)/(2) = 48. Проверим, что в этот момент скорость вытекания также равна нулю: H'(t) = (t)/(384) - (1)/(8) , H'(48) = (48)/(384) - (1)/(8) = (1)/(8) - (1)/(8) = 0 . Следовательно, t = 48 — это момент, когда вода перестаёт вытекать. Ответ: 48

48