Задача №14864

Легко

Задача #14864

Разные задачи•1 балл

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f} .

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Дано:

\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f}, f = 30 см, d_{2} \in [160; 180] см .

Найдём наименьшее $d_{1} .$ Выразим $\frac{1}{d _{1}} :$

\frac{1}{d _{1}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{2}} .

Значение $d_{1}$ будет наименьшим, когда величина $\frac{1}{d _{1}}$ — наибольшая. Так как $f$ — константа, разность $\frac{1}{f} - \frac{1}{d _{2}}$ принимает максимальное значение при минимальном вычитаемом $\frac{1}{d _{2}} .$