Задача №17130

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\phi =\omega t+\frac{\beta t^2}{2}\text{,}$ где $t$ — время в минутах, $\omega =45^{\circ }/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =6^{\circ }/{\text{мин}}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\phi$ достигнет $4050^{\circ }\text{.}$ Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Закон изменения угла:

где $\omega =45^{\circ }/\text{мин}$ и $\beta =6^{\circ }/{\text{мин}}^2\text{.}$

Условие достижения угла $\phi =4050^{\circ }\text{:}$

Дискриминант: $D=225+5400=5625\text{,}$ $\sqrt{D}=75\text{.}$

Тогда

Берём положительный корень: $t=\frac{60}{2}=30$ минут.

Ответ: 30