Задача №14855

Водолазный колокол, содержащий $\upsilon =2$ моль воздуха объёмом $V_1=120$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа $A$ (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле

$$A=\alpha \upsilon T{\log }_2\frac{V_1}{V_2},$$

где $\alpha =8,7$ Дж/(моль $\cdot$ К) — постоянная, $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10,440 Дж. Ответ дайте в литрах.

Дано: $A=10440$ Дж, $\alpha =8,7$ Дж/(моль $\cdot$ К), $\upsilon =2$ моль, $T=300$ К, $V_1=120$ л.

Формула для работы:
$A=\alpha \upsilon T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}\text{.}$

Подставим известные значения:

$$10440=8,7\cdot 2\cdot 300\cdot {\log }_2\frac{120}{V_2}$$

Вычислим произведение констант в правой части:

$$8,7\cdot 2=17,4$$ $$17,4\cdot 300=5220$$

Таким образом:

$$10440=5220\cdot {\log }_2\frac{120}{V_2}$$

Разделим обе части уравнения на 5,220:

$$\frac{10440}{5220}={\log }_2\frac{120}{V_2}\Rightarrow 2={\log }_2\frac{120}{V_2}$$

По определению логарифма:

$$\frac{120}{V_2}=2^2\Rightarrow \frac{120}{V_2}=4$$

Отсюда находим $V_2\text{:}$

$$V_2=\frac{120}{4}=30$$

Ответ: 30