Задача №14634

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O\text{.}$ Угол $ACB$ равен $61^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $AOD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Угол $ACB$ — вписанный, опирающийся на дугу $AB\text{,}$ значит

$\cup AB=2\cdot 61^{\circ }=122^{\circ }\text{.}$

Угол $AOD$ — центральный, опирающийся на дугу $AD\text{.}$

Дуга $AD$ равна дуге $AB$ плюс дуга $BD\text{.}$ Так как $AC$ и $BD$ — диаметры, то дуга $BD$ равна $180^{\circ }\text{.}$

Тогда

$\cup AD=\cup AB+\cup BD=122^{\circ }+180^{\circ }=302^{\circ }\text{.}$

Центральный угол $AOD$ равен дуге $AD\text{,}$ на которую он опирается, то есть $302^{\circ }\text{.}$ Но так как угол $AOD$ должен быть меньше $180^{\circ }\text{,}$ то берем меньшую дугу:

$360^{\circ }-302^{\circ }=58^{\circ }\text{.}$

Ответ: $58^{\circ }$