Задача №09819

Рассмотрим четырёхугольник $OACB\text{.}$

Поскольку стороны угла с вершиной $C$ являются касательными к окружности, радиусы $OA$ и $OB\text{,}$ проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$\angle OAC=90^{\circ },\angle OBC=90^{\circ }$$

Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{.}$ Из этого утверждения выразим угол $AOB\text{:}$

$$\angle AOB=360^{\circ }-\angle ACB-\angle OAC-\angle OBC$$

По условию угол при вершине $C$ равен $90^{\circ }\text{,}$ то есть $\angle ACB=90^{\circ }\text{.}$ Подставим значения всех известных углов:

$$\angle AOB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$$

Ответ: $90^{\circ }\text{.}$