В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 112^ . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Задача №10492: Планиметрия

Способ 1.

1. Отрезки $A C$ и $B D$ являются диаметрами окружности, следовательно, они пересекаются в центре окружности — точке $O .$

2. Углы $A O D$ и $B O C$ являются вертикальными, поэтому они равны:

∠ B O C = ∠ A O D = 11 2^{\circ}

3. Отрезки $O B$ и $O C$ равны как радиусы окружности. Следовательно, треугольник $B O C$ — равнобедренный с основанием $B C .$

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

∠ O B C = ∠ O C B

5. Сумма углов в треугольнике равна $18 0^{\circ} .$ Для треугольника $B O C :$

∠ B O C + ∠ O B C + ∠ O C B = 18 0^{\circ}

11 2^{\circ} + 2∠ O C B = 18 0^{\circ}

2∠ O C B = 18 0^{\circ} - 11 2^{\circ} = 6 8^{\circ}

∠ O C B = 3 4^{\circ}

Угол $A C B$ совпадает с углом $O C B,$ то есть $∠ A C B = 3 4^{\circ} .$

Способ 2.

1. Поскольку $B D$ — диаметр окружности, угол $B O D$ является развёрнутым ( $18 0^{\circ}$ ).

2. Углы $A O D$ и $A O B$ — смежные, поэтому:

∠ A O B = 18 0^{\circ} - ∠ A O D = 18 0^{\circ} - 11 2^{\circ} = 6 8^{\circ}

3. Центральный угол $A O B$ опирается на дугу $A B,$ следовательно, градусная мера дуги $A B$ равна $6 8^{\circ} .$

4. Вписанный угол $A C B$ опирается на ту же дугу $A B .$ Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

∠ A C B = \frac{1}{2} ∠ A O B = \frac{1}{2} \cdot 6 8^{\circ} = 3 4^{\circ}