Задача №09669

Правильный девятиугольник $ABCDEFGHI$ вписан в окружность, а его вершины делят её на $9$ равных дуг. Величина каждой такой дуги равна:

$$\frac{360^{\circ }}{9}=40^{\circ }.$$

Угол $BDE$ — вписанный, его вершина $D\text{,}$ а стороны проходят через вершины $B$ и $E\text{.}$ Он опирается на дугу $BE\text{,}$ не содержащую точку $D\text{.}$ Эта дуга проходит через вершины $A,I,H,G,F\text{,}$ то есть состоит из $6$ равных дуг ($BA,AI,IH,HG,GF,FE$):

$$⌣BE=6\cdot 40^{\circ }=240^{\circ }.$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

$$\angle BDE=\frac{240^{\circ }}{2}=120^{\circ }.$$

Ответ: 120