Задача №09484

Около правильного десятиугольника $ABCDEFGHIJ$ можно описать окружность. Вершины десятиугольника делят окружность на 10 равных дуг, градусная мера каждой из которых равна:

$$\frac{360^{\circ }}{10}=36^{\circ }$$

Вписанный угол $ADI$ опирается на дугу $AJI\text{,}$ которая состоит из двух дуг: $AJ$ и $JI\text{.}$ Таким образом, градусная мера дуги $AJI$ составляет:

$$2\cdot 36^{\circ }=72^{\circ }$$

По теореме о вписанном угле, градусная мера угла $ADI$ равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

$$\angle ADI=\frac{1}{2}\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }$$

Альтернативный способ решения:

Диагональ $DI$ соединяет противоположные вершины десятиугольника (так как между ними ровно 5 сторон: $DE,EF,FG,GH,HI$), а значит, является диаметром описанной окружности.

Вписанный угол $DAI$ опирается на диаметр, следовательно, он прямой: $\angle DAI=90^{\circ }\text{.}$

Вписанный угол $AID$ опирается на дугу $ABCD\text{,}$ состоящую из трёх элементарных дуг по $36^{\circ }\text{:}$

$$\text{дуга }ABCD=3\cdot 36^{\circ }=108^{\circ }$$

Тогда величина этого угла равна:

$$\angle AID=\frac{1}{2}\cdot 108^{\circ }=54^{\circ }$$

Из прямоугольного треугольника $DAI$ находим искомый угол:

$$\angle ADI=90^{\circ }-\angle AID=90^{\circ }-54^{\circ }=36^{\circ }$$