Задача №09271

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 10, 15 и 21. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Прямоугольник разбит одним вертикальным и одним горизонтальным разрезом на четыре меньших прямоугольника, образующих сетку $2\times 2\text{.}$

Обозначим ширины двух столбцов через $a$ (левый) и $b$ (правый), а высоты двух строк через $h$ (верхняя) и $k$ (нижняя). Тогда площади четырёх прямоугольников равны:

Перемножим площади прямоугольников, стоящих по разным диагоналям:

Значит, произведения площадей по диагоналям равны:

По условию (начиная с левого верхнего по часовой стрелке): $S_{\text{лв}}=10\text{,}$ $S_{\text{пв}}=15\text{,}$ $S_{\text{пн}}=21\text{,}$ а искомая площадь $S_{\text{лн}}=x\text{.}$ Тогда:

Отсюда:

Ответ: 14.