Задача №09222

Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Одна из его сторон равна образующей цилиндра, то есть $16\text{.}$

Другая сторона сечения является хордой основания цилиндра. Рассмотрим основание цилиндра. Пусть $O$ — центр основания, а $AB$ — хорда, являющаяся стороной сечения.

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения — это расстояние от центра основания $O$ до хорды $AB\text{.}$ Опустим перпендикуляр $OH$ из центра $O$ на хорду $AB\text{.}$ По условию, $OH=15\text{.}$

Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как его боковые стороны — это радиусы основания: $OA=OB=R=25\text{.}$ Высота $OH$ в равнобедренном треугольнике также является медианой, поэтому $AH=HB\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $AOH$ по теореме Пифагора найдем $AH\text{:}$

$$AH=\sqrt{O{A}^2-O{H}^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20.$$

Тогда длина хорды $AB$ равна:

$$AB=2\cdot AH=2\cdot 20=40.$$

Площадь сечения равна площади прямоугольника со сторонами $AB$ и образующей $h\text{:}$

$$S=AB\cdot h=40\cdot 16=640.$$

Ответ: 640