Задача №09082

Сечение цилиндра, параллельное его оси, является прямоугольником. Одна из сторон этого прямоугольника равна образующей цилиндра: $h=9\text{.}$ Вторая сторона является хордой основания цилиндра.

Рассмотрим основание цилиндра — круг радиуса $R=25\text{.}$ Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно расстоянию от центра основания до этой хорды: $d=24\text{.}$

Перпендикуляр, опущенный из центра круга на хорду, делит её пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания (гипотенуза), расстоянием от центра до хорды (один катет) и половиной хорды (второй катет, обозначим его за $x$).

По теореме Пифагора найдем половину хорды:

$$x=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{(25-24)(25+24)}=\sqrt{1\cdot 49}=7$$

Тогда длина всей хорды равна:

$$a=2x=2\cdot 7=14$$

Площадь сечения равна площади прямоугольника со сторонами $a=14$ и $h=9\text{:}$

$$S=a\cdot h=14\cdot 9=126$$

Ответ: 126