На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
Обозначим длину кольцевой дороги как L км. Разместим точку А в начале отсчёта на окружности, тогда положения точек Б, В, Г задаются координатами x_(Б), x_(В), x_(Г) на отрезке [0; L) . Расстояние между точками равно длине кратчайшей дуги: d(X; Y) = (|x_X - x_Y|; L - |x_X - x_Y|) . Из условия: d(А; Б) = 50 => (x_(Б); L - x_(Б)) = 50 d(А; В) = 40 => (x_(В); L - x_(В)) = 40 d(А; Г) = 35 => (x_(Г); L - x_(Г)) = 35 d(В; Г) = 25 => (|x_(В) - x_(Г)|; L - |x_(В) - x_(Г)|) = 25 Поскольку все заданные расстояния положительны и не превышают половины окружности, рассмотрим возможные варианты для координат. Анализ случаев показывает, что единственное значение L , при котором все условия выполняются, это L = 100 км. При этом точки располагаются следующим образом (один из вариантов): А на 0 км; Г на 35 км; В на 40 км; Б на 50 км. Проверка: d(А; Б) = (50; 100 - 50) = 50 км; d(А; В) = (40; 60) = 40 км; d(А; Г) = (35; 65) = 35 км; d(В; Г) = (5; 95) = 5 км. По условию d(В; Г) = 25 . В данном расположении |x_(В) - x_(Г)| = 5 , что не равно 25. Значит, это расположение не подходит. Рассмотрим другой вариант: А на 0, В на 40, Б на 50, Г на 65. Тогда: d(А; Б) = (50; 50) = 50 км; d(А; В) = (40; 60) = 40 км; d(А; Г) = (65; 35) = 35 км; d(В; Г) = (25; 75) = 25 км. Все условия выполнены. Тогда расстояние между Б и В: d(Б; В) = (|50 - 40|; 100 - 10) = (10; 90) = 10 км. Аналогичные рассуждения с другими допустимыми расположениями точек также приводят к L = 100 и d(Б; В) = 10 км. Ответ: 10 км.
10