Задача №14388

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 70 км, между А и В — 55 км, между В и Г — 45 км, между Г и А — 40 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).

Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

Пусть длина всей кольцевой дороги равна $L\text{.}$ Расстояние между двумя точками на кольце измеряется по кратчайшей дуге, поэтому это расстояние не может превышать половины длины всей дороги:

$$d(X;Y)⩽\frac{L}{2}$$

1. Рассмотрим три бензоколонки: А, В и Г. Известны расстояния между ними:

$$d(А;В)=55,d(В;Г)=45,d(Г;А)=40$$

На кольцевой дороге для любых трёх точек выполняется одно из двух условий:

• Расстояние между двумя из них равно сумме двух других расстояний (например, $d(А;В)=d(А;Г)+d(Г;В)$).
• Сумма всех трёх расстояний равна полной длине дороги $L$ (если точки «огибают» круг).

Проверим первое условие:

$$40+45=85\ne 55$$ $$40+55=95\ne 45$$ $$45+55=100\ne 40$$

Следовательно, сумма кратчайших дуг между этими тремя точками составляет полную длину дороги:

$$L=40+45+55=140\text{ км}$$

2. Теперь определим положение бензоколонки Б. Известно, что $d(А;Б)=70\text{ км}\text{.}$ Так как 70 — это ровно половина длины дороги ($140/2=70$), бензоколонка Б находится в точке, диаметрально противоположной бензоколонке А.

3. Найдём расстояние между Б и В. Мы знаем, что расстояние от А до В по кратчайшей дуге равно 55 км. Поскольку Б находится на расстоянии 70 км от А, расстояние между Б и В вдоль той же дуги, на которой лежат А, В и Б, равно:

$$d(Б;В)=d(А;Б)-d(А;В)=70-55=15\text{ км}$$

Проверим вторую дугу: $140-15=125\text{ км}\text{.}$ Кратчайшее расстояние — 15 км.

Ответ: 15.