Задача №14495

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: $A\text{,}$ $B\text{,}$ $V$ и $G\text{.}$ Расстояние между $A$ и $B$ — 55 км, между $A$ и $V$ — 50 км, между $V$ и $G$ — 40 км, между $G$ и $A$ — 20 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).

Найдите расстояние (в километрах) между $B$ и $V\text{.}$

Пусть $L$ — длина кольцевой дороги. Поскольку кратчайшее расстояние между любыми двумя точками на кольце не может превышать половины длины всей дороги, из условия $d(A,B)=55$ км следует, что:

$$L⩾2\cdot 55=110\text{ км}.$$

Примем положение точки $A$ за нулевую отметку (координата $0$). Тогда, исходя из условий задачи, возможны следующие координаты для других точек:

1. Точка $G$ находится на расстоянии 20 км от $A\text{,}$ значит, её координата либо $20\text{,}$ либо $L-20\text{.}$
2. Точка $V$ находится на расстоянии 50 км от $A\text{,}$ значит, её координата либо $50\text{,}$ либо $L-50\text{.}$

Рассмотрим случай, когда координата $G=20\text{.}$ Проверим варианты для координаты точки $V\text{:}$

— Если $V=50\text{,}$ то расстояние между $G$ и $V$ по одной дуге равно $50-20=30$ км, а по другой — $L-30\text{.}$ Чтобы кратчайшее расстояние было равно 40 км, должно выполняться $L-30=40\text{,}$ что даёт $L=70\text{.}$ Это невозможно, так как $L⩾110\text{.}$

— Если $V=L-50\text{,}$ то расстояние между $G$ и $V$ по одной дуге равно $(L-50)-20=L-70\text{,}$ а по другой — $L-(L-70)=70\text{.}$ Кратчайшим из них является $L-70$ (так как $L-70<70$ при $L<140$). Уравнение $L-70=40$ даёт $L=110\text{.}$ Это значение согласуется со всеми условиями.

Таким образом, длина кольцевой дороги составляет 110 км. При такой длине расстояние $d(A,B)=55$ км означает, что точка $B$ расположена точно напротив точки $A\text{,}$ то есть её координата равна $55\text{.}$

Найдём искомое расстояние между $B$ и $V\text{:}$

Координата $B=55\text{.}$
Координата $V=L-50=110-50=60\text{.}$

Разность координат:

$$|60-55|=5\text{ км}.$$

Так как $5<\frac{110}{2}\text{,}$ то 5 км и есть кратчайшее расстояние между бензоколонками $B$ и $V\text{.}$

Ответ: 5