Задача №14468

Клетки таблицы $4\times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 15 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

1. Найдём общее количество пар соседних клеток в таблице размера $4\times 5\text{.}$ Пара соседних клеток — это две клетки, имеющие общую сторону. Количество таких пар равно количеству внутренних границ между клетками.

2. Посчитаем количество горизонтальных границ (между клетками в одном столбце). В таблице 5 столбцов, в каждом столбце по 4 клетки, следовательно, в каждом столбце $4-1=3$ границы. Всего горизонтальных границ:

3. Посчитаем количество вертикальных границ (между клетками в одной строке). В таблице 4 строки, в каждой строке по 5 клеток, следовательно, в каждой строке $5-1=4$ границы. Всего вертикальных границ:

4. Общее количество пар соседних клеток $E$ равно сумме горизонтальных и вертикальных границ:

5. Все пары соседних клеток можно разделить на три типа:

• пары разного цвета (чёрная и белая);
• пары чёрного цвета (обе чёрные);
• пары белого цвета (обе белые).

Пусть $N_{BW}$ — количество пар разного цвета, $N_{BB}$ — количество пар чёрного цвета, а $N_{WW}$ — количество пар белого цвета. Тогда:

6. Подставим известные значения из условия ($N_{BW}=15\text{,}$ $N_{BB}=11$) и найденное общее количество пар ($E=31$):

Ответ: 5.