Задача №14390

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 10 партий, а Коля — 21. Сколько партий сыграл Лёша?

а) Обозначим количество партий между Мишей и Колей за $x\text{,}$ между Мишей и Лёшей за $y\text{,}$ между Колей и Лёшей за $z\text{.}$ Тогда Миша сыграл $x+y=10$ партий, Коля — $x+z=21$ партию, Лёша — $y+z=L$ партий.

Сложив уравнения для Миши и Коли, получим:

Но $y+z=L\text{,}$ поэтому

Поскольку $x$ — целое неотрицательное число и из $x+y=10$ следует $x⩽10\text{,}$ то $x$ может принимать значения от 0 до 10. Тогда $L=31-2x$ может быть равно 31, 29, 27, …, 11 (нечётные числа от 11 до 31).

б) В типичных задачах такого типа предполагается, что общее число партий равно количеству партий игрока, сыгравшего наибольшее число партий (в данном случае Коля, 21), так как он участвует в каждой партии. Это следует из того, что если бы он пропустил партию, то общее число партий было бы больше, и количество партий Лёши было бы больше 11. Для определённости, принимая это, имеем общее число партий $N=21\text{.}$ Тогда сумма партий всех игроков равна удвоенному числу партий: $10+21+L=2\cdot 21=42\text{,}$ откуда $L=11\text{.}$

Таким образом, Лёша сыграл 11 партий.

Ответ: 11