Задача №14424

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную;
• за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 60 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть Николай совершил $x$ операций первого типа и $y$ операций второго типа.
Изменения количества монет:

• Золотые: $\Delta G=-5x+7y\text{.}$
• Серебряные: $\Delta S=7x-10y\text{.}$
• Медные: $\Delta M=x+y\text{.}$
  По условию: золотых не появилось, поэтому $\Delta G=0\text{:}$

$$-5x+7y=0\Rightarrow 5x=7y.$$

Также медных стало 60:

$$x+y=60.$$

Решаем систему: из первого уравнения $x=\frac{7}{5}y\text{,}$ подставляем во второе:

$$\frac{7}{5}y+y=60\Rightarrow \frac{12}{5}y=60\Rightarrow y=25.$$

Тогда $x=35\text{.}$
Изменение серебряных монет:

$$\Delta S=7\cdot 35-10\cdot 25=245-250=-5.$$

Значит, количество серебряных монет уменьшилось на 5.

Ответ: 5