Задача №14421

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1. За $5$ золотых монет получить $6$ серебряных и одну медную.
2. За $8$ серебряных монет получить $6$ золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось $55$ медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть $x$ — количество операций первого типа (обмен $5$ золотых на $6$ серебряных и $1$ медную), а $y$ — количество операций второго типа (обмен $8$ серебряных на $6$ золотых и $1$ медную).

Каждая операция даёт одну медную монету, поэтому общее количество операций равно количеству медных монет:
$x+y=55\text{.}$

Изначально у Николая золотых монет не было, и после всех операций золотых тоже нет. Изменение количества золотых монет равно нулю. За каждую операцию первого типа теряется $5$ золотых, а за каждую операцию второго типа получается $6$ золотых, поэтому:
$-5x+6y=0\text{.}$

Решим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x+y=55,\\ -5x+6y=0.\end{array}$$

Из второго уравнения выразим $x\text{:}$
$6y=5x\Rightarrow x=\frac{6}{5}y\text{.}$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{6}{5}y+y=55\Rightarrow \frac{11}{5}y=55\Rightarrow y=25.$$

Тогда $x=\frac{6}{5}\cdot 25=30\text{.}$

Изменение количества серебряных монет:

$$\Delta S=6x-8y=6\cdot 30-8\cdot 25=180-200=-20.$$

Знак «минус» означает уменьшение. Следовательно, количество серебряных монет уменьшилось на $20\text{.}$

Ответ: 20