Задача №14493

Про натуральные числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A\text{,}$ потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C\text{.}$ Получилось 213. Какое число было загадано?

Пусть загаданное натуральное число равно $x\text{.}$ По условию задачи числа $A\text{,}$ $B$ и $C$ — натуральные, больше 4 и меньше 8, то есть они могут принимать значения из множества $\{5;6;7\}\text{.}$

Запишем уравнение по условию задачи:

Перенесём константы в правую часть:

Так как $B$ и $C$ принимают значения 5, 6 или 7, разность $B-C$ может принимать значения от $5-7=-2$ до $7-5=2\text{.}$ Следовательно, $B-C\in \{-2;-1;0;1;2\}\text{.}$

Тогда возможные значения для произведения $x\cdot A$ лежат в диапазоне:

Проверим каждое из возможных значений $A\in \{5;6;7\}\text{:}$

1. Если $A=5\text{:}$
Число $x\cdot 5$ должно быть кратно 5. В интервале $[211;215]$ только число 215 делится на 5.

Проверим разность: $213-(B-C)=215\Rightarrow B-C=-2\text{.}$ Это возможно при $B=5$ и $C=7\text{.}$

2. Если $A=6\text{:}$
Число $x\cdot 6$ должно быть чётным и делиться на 3. В интервале $[211;215]$ чётными являются 212 (сумма цифр 5, не делится на 3) и 214 (сумма цифр 7, не делится на 3). Значений нет.

3. Если $A=7\text{:}$
Проверим делимость чисел на 7. Число 210 делится на 7, значит, числа 211, 212, 213, 214, 215 при делении на 7 дают остатки 1, 2, 3, 4, 5 соответственно. Значений нет.

Таким образом, единственное подходящее число — 43.

Ответ: 43.