Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 9 партий, а Коля — 19. Сколько партий сыграл Лёша?

Пусть N — общее число партий. Так как в каждой партии участвуют два игрока, сумма сыгранных партий всех игроков равна 2N: m + k + l = 2N, где m = 9 (Миша), k = 19 (Коля), l — партий Лёши. Для любого игрока количество несыгранных партий N - s_i не превышает количества сыгранных s_i плюс 1 (из-за чередования участия): N - s_i<= s_i + 1 => 2s_i>= N - 1 => s_i>=(N-1)/(2). Для Миши: 9>=(N-1)/(2)=> N<= 19. Коля сыграл 19 партий, поэтому N>= 19. Значит, N = 19. Тогда из уравнения суммы: 9 + 19 + l = 2* 19 = 38 => l = 10. Ответ: 10

\(10\)