Задача №14488

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 7 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

1. Обозначим величины трёх углов как $\alpha \text{,}$ $\beta$ и $\gamma \text{.}$ По условию задачи это целые положительные числа. Пусть $\alpha$ — наименьший из углов, $\gamma$ — наибольший, а $\beta$ — средний по величине угол. Так как все углы разные, выполняется строгое неравенство: $\alpha <\beta <\gamma \text{.}$

2. Поскольку три луча разбивают плоскость, сумма углов составляет $360^{\circ }\text{:}$

3. По условию задачи наибольший угол в 7 раз больше наименьшего, то есть $\gamma =7\alpha \text{.}$ Подставим это выражение в уравнение суммы:

Отсюда выразим величину среднего угла:

4. Используем условие $\alpha <\beta <\gamma \text{,}$ чтобы найти возможные значения $\alpha \text{:}$

Из условия $\alpha <\beta \text{:}$

Из условия $\beta <\gamma \text{:}$

5. Таким образом, величина наименьшего угла $\alpha$ может принимать целые значения в диапазоне $24<\alpha <40\text{,}$ то есть $\alpha \in \{25;26;\dots ;39\}\text{.}$

6. Для каждого такого целого значения $\alpha$ величина среднего угла $\beta =360-8\alpha$ также будет целым числом. При этом $\beta$ будет автоматически принимать разные значения для разных $\alpha$ и не будет совпадать с $\alpha$ или $\gamma$ (так как границы 24 и 40 исключены).

7. Количество возможных значений $\alpha$ равно:

Следовательно, средний угол также может принимать 15 различных значений.

Ответ: 15