Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 7 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Обозначим величины трёх углов как alpha , beta и gamma . По условию задачи это целые положительные числа. Пусть alpha — наименьший из углов, gamma — наибольший, а beta — средний по величине угол. Так как все углы разные, выполняется строгое неравенство: alpha < beta < gamma . Поскольку три луча разбивают плоскость, сумма углов составляет 360^ : alpha + beta + gamma = 360^ По условию задачи наибольший угол в 7 раз больше наименьшего, то есть gamma = 7alpha . Подставим это выражение в уравнение суммы: alpha + beta + 7alpha = 360 => 8alpha + beta = 360 Отсюда выразим величину среднего угла: beta = 360 - 8alpha Используем условие alpha < beta < gamma , чтобы найти возможные значения alpha : Из условия alpha < beta : alpha < 360 - 8alpha => 9alpha < 360 => alpha < 40 Из условия beta < gamma : 360 - 8alpha < 7alpha => 360 < 15alpha => alpha > (360)/(15) => alpha > 24 Таким образом, величина наименьшего угла alpha может принимать целые значения в диапазоне 24 < alpha < 40 , то есть alpha in 25; 26; ; 39 . Для каждого такого целого значения alpha величина среднего угла beta = 360 - 8alpha также будет целым числом. При этом beta будет автоматически принимать разные значения для разных alpha и не будет совпадать с alpha или gamma (так как границы 24 и 40 исключены). Количество возможных значений alpha равно: 39 - 25 + 1 = 15 Следовательно, средний угол также может принимать 15 различных значений. Ответ: 15
15