Задача №14416

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную;
• за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть Николай совершил $x$ операций первого типа (отдаёт 4 золотых, получает 5 серебряных и 1 медную) и $y$ операций второго типа (отдаёт 8 серебряных, получает 5 золотых и 1 медную).

Так как в итоге золотых монет у него нет, баланс по золоту:

$$5y-4x=0\Rightarrow 5y=4x.$$

Минимальные целые решения: $x=5k\text{,}$ $y=4k\text{,}$ где $k$ — натуральное число.

Изменение количества серебряных монет:

$$\Delta S=5x-8y=5\cdot 5k-8\cdot 4k=25k-32k=-7k.$$

Количество медных монет:

$$x+y=5k+4k=9k.$$

По условию медных стало 45:

$$9k=45\Rightarrow k=5.$$

Таким образом, количество серебряных монет уменьшилось на:

$$7k=7\cdot 5=35.$$

Ответ: 35