Задача №14191

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось $5\text{,}$ и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным $1150\text{.}$ Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «$2$», «$3$», «$4$» или «$5$» и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округлённым по правилам округления? (Например, $3,2$ округляется до $3\text{;}$ $4,5$ — до $5\text{;}$ $2,8$ — до $3\text{.}$)

1. Разложим число $1150$ на простые множители:

2. По условию Петя выписал $5$ отметок (допустимые значения: $2,3,4,5$) и составил из них числа, произведение которых равно $1150\text{.}$ В разложении присутствует простое число $23\text{.}$ Так как отметки — это цифры от $2$ до $5\text{,}$ число $23$ могло быть получено только путём записи двух отметок «$2$» и «$3$» подряд (как число $23$).

Другие комбинации с множителем $23$ невозможны: число $46$ содержит цифру $6\text{,}$ $69$ — цифры $6$ и $9\text{,}$ а трёхзначные числа (например, $115$) не могут состоять из указанных отметок.

3. После использования цифр $2$ и $3$ для образования числа $23\text{,}$ произведение оставшихся чисел должно быть равно:

У Пети осталось еще $3$ отметки (так как всего их было $5\text{,}$ а две уже использованы для числа $23$). Эти три отметки должны образовать числа, произведение которых равно $50\text{.}$ Рассмотрим возможные варианты формирования числа $50$ из цифр $2,3,4,5\text{:}$

1) Вариант 1: числа $2,5$ и $5$ (каждая цифра — отдельная отметка). Тогда набор отметок: $\{2;3;2;5;5\}\text{.}$

2) Вариант 2: число $2$ и число $25$ (составленное из двух отметок $2$ и $5$). Тогда набор отметок: $\{2;3;2;2;5\}\text{.}$

Других вариантов нет, так как $50$ не делится на $4\text{,}$ а использование цифры $0$ или $1$ запрещено условием.

4. Вычислим среднее арифметическое и итоговую отметку для каждого случая:

1) Для набора $\{2;3;2;5;5\}\text{:}$ сумма отметок равна $2+3+2+5+5=17\text{.}$ Среднее арифметическое:

По правилам округления получается отметка 3.

2) Для набора $\{2;3;2;2;5\}\text{:}$ сумма отметок равна $2+3+2+2+5=14\text{.}$ Среднее арифметическое:

По правилам округления получается отметка 3.

В обоих математически возможных случаях итоговая отметка Пети в четверти равна 3.

Ответ: 3