Задача №14400

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — $326\text{,}$ номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?

Пусть выпало $k$ листов, тогда выпало $2k$ страниц. Последняя страница перед выпавшими листами — $326\text{,}$ поэтому первая выпавшая страница — $327\text{,}$ последняя выпавшая — $326+2k\text{,}$ а первая страница после выпавших — $326+2k+1\text{.}$ Это число должно быть перестановкой цифр числа $326\text{.}$

Перестановки цифр $3\text{,}$ $2\text{,}$ $6\text{:}$ $236\text{,}$ $263\text{,}$ $326\text{,}$ $362\text{,}$ $623\text{,}$ $632\text{.}$ Поскольку нумерация страниц возрастает, число $326+2k+1>326\text{,}$ поэтому подходят $362\text{,}$ $623\text{,}$ $632\text{.}$

Рассмотрим каждое:

1. Если $326+2k+1=362\text{,}$ то $2k=35\text{,}$ $k=17.5$ — не целое.
2. Если $326+2k+1=623\text{,}$ то $2k=296\text{,}$ $k=148$ — целое.
3. Если $326+2k+1=632\text{,}$ то $2k=305\text{,}$ $k=152.5$ — не целое.

Значит, $k=148\text{.}$

Ответ: $148$