Задача №14305

В доме всего пятнадцать квартир с номерами от 1 до 15. В каждой квартире живёт не менее одного и не более трёх человек. В квартирах с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 10 человек, а в квартирах с 7-й по 15-ю включительно живёт суммарно 22 человека. Сколько всего человек живёт в этом доме?

Пусть $a_i$ — количество человек в квартире номер $i\text{,}$ где $i=1,2,\dots ,15\text{.}$ Из условия $1⩽a_i⩽3$ для всех $i\text{.}$

Обозначим:

• $A=a_1+a_2+\cdots +a_6$ (квартиры 1–6);
• $B=a_7+a_8+a_9$ (квартиры 7–9);
• $C=a_{10}+a_{11}+\cdots +a_{15}$ (квартиры 10–15).

Тогда из условия:

Общее количество человек в доме:

Найдём возможные значения $B\text{.}$ Так как $a_i⩾1\text{,}$ то минимальное $B=1+1+1=3\text{.}$ Максимальное $B=3+3+3=9\text{.}$

Из первого уравнения $A=10-B\text{.}$ Так как $A$ — сумма шести чисел, каждое от 1 до 3, то $A⩾6$ и $A⩽18\text{.}$ Из $A⩾6$ получаем:

Из второго уравнения $C=22-B\text{.}$ Так как $C$ — сумма шести чисел, каждое от 1 до 3, то $C⩾6$ и $C⩽18\text{.}$ Из $C⩽18$ получаем:

Таким образом, $B⩽4$ и $B⩾4\text{,}$ откуда $B=4\text{.}$

Тогда общее количество:

Проверим согласованность: при $B=4$ имеем $A=10-4=6$ и $C=22-4=18\text{.}$ Это соответствует ограничениям: $A=6$ означает, что в квартирах 1–6 живёт ровно по 1 человеку (минимум), а $C=18$ означает, что в квартирах 10–15 живёт ровно по 3 человека (максимум). В квартирах 7–9 суммарно 4 человека, что возможно, например, при распределении 1; 1; 2.

Ответ: 28.