Задача №14280

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 14 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал участник, набравший 207 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных, $z$ — число без ответа.

Из условия:
$x+y+z=50\text{.}$

Очки:
$9x-14y=207\text{.}$

Так как хотя бы один раз ошибся, $y⩾1\text{.}$

Выразим $x$ из уравнения очков:

$x$ должно быть целым, поэтому $207+14y$ делится на 9.

$207$ делится на 9 ($207=9\cdot 23$), значит, $14y$ должно делиться на 9. Так как $\text{НОД}(14,9)=1\text{,}$ то $y$ кратно 9.

Проверим $y=9\text{:}$ тогда

При $y=18\text{:}$

но тогда $x+y=69>50\text{,}$ не подходит.

Значит, $x=37\text{.}$

Ответ: 37