На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.

1. Пусть L — общая длина кольцевой дороги. Расстояние между любыми двумя точками на кольце измеряется по кратчайшей дуге, поэтому это расстояние не может превышать половины длины всей дороги: d(X; Y) (L)/(2) . 2. Рассмотрим взаимное расположение бензоколонок А, В и Г. Даны кратчайшие расстояния: - между А и В: 45 км; - между В и Г: 40 км; - между Г и А: 35 км. Проверим, лежит ли одна из точек между двумя другими на кратчайшем пути. Если бы, например, точка Г лежала на кратчайшем пути между А и В, то выполнялось бы равенство d(А; Г) + d(Г; В) = d(А; В) . Однако 35 + 40 = 75 != 45 . Аналогично: - 45 + 40 = 85 != 35 ; - 45 + 35 = 80 != 40 . Поскольку ни одно расстояние не является суммой двух других, эти три точки делят окружность на три дуги, длины которых равны данным кратчайшим расстояниям. Следовательно, сумма этих дуг составляет полную длину кольцевой дороги: L = 45 + 40 + 35 = 120 (км). 3. Теперь определим положение бензоколонки Б. По условию, расстояние между А и Б равно 60 км. Так как общая длина дороги L = 120 км, то расстояние 60 км составляет ровно половину круга ( 120 : 2 = 60 ). Это означает, что бензоколонка Б находится в диаметрально противоположной точке от бензоколонки А. 4. Пусть координата точки А на кольце равна 0 . Тогда координата точки Б равна 60 . Точка В находится на расстоянии 45 км от А, то есть её координата может быть либо 45 , либо 120 - 45 = 75 . - Если координата В равна 45 , то расстояние между Б и В равно |60 - 45| = 15 (км) . - Если координата В равна 75 , то расстояние между Б и В равно |75 - 60| = 15 (км) . В обоих случаях кратчайшее расстояние между бензоколонками Б и В равно 15 км. Ответ: 15

15