Задача №14252

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную;
• за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть $x$ — количество операций первого типа (4 золотые → 5 серебряных + 1 медная), $y$ — количество операций второго типа (8 серебряных → 5 золотых + 1 медная).

Каждая операция даёт одну медную монету, поэтому:

$$x+y=45$$

Изменение количества золотых: прибавляется $5y\text{,}$ убавляется $4x\text{.}$ Поскольку золотых не осталось:

$$5y-4x=0\Rightarrow 4x=5y$$

Решаем систему: из второго уравнения $x=\frac{5}{4}y\text{,}$ подставляем в первое:

$$\frac{5}{4}y+y=45\Rightarrow \frac{9}{4}y=45\Rightarrow y=20$$

Тогда $x=25\text{.}$

Изменение серебряных монет:

$$5x-8y=5\cdot 25-8\cdot 20=125-160=-35$$

Серебряных монет стало меньше на 35.

Ответ: 35