Задача №14279

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
• за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть первая операция выполнена $a$ раз, вторая — $b$ раз.

Золотых монет не появилось, значит, полученные и отданные золотые уравновешиваются:
Из первой операции получаем $0$ золотых (отдаём 3, получаем 0 в итоге, так как золотых не появилось), но по условию:
В первой операции: за 3 золотых → 4 серебряных + 1 медная. Но у Николая изначально не было золотых, поэтому эту операцию он не мог выполнить, если не получал золотые из второй операции.
Во второй операции: за 7 серебряных → 4 золотых + 1 медная.
Чтобы золотых не оставалось, золотые, полученные из второй операции, должны быть потрачены в первой.
Баланс по золотым: получено $4b$ (из второй), отдано $3a$ (в первой). Условие "золотых не появилось" означает, что все полученные золотые потрачены: $4b=3a\text{.}$
Медные монеты: из первой операции получаем $a$ медных, из второй — $b$ медных. Всего медных: $a+b=42\text{.}$

Решаем систему:

$$\{\begin{array}{l}4b=3a\\ a+b=42\end{array}$$

Из второго: $a=42-b\text{.}$ Подставляем в первое:
$4b=3(42-b)$
$4b=126-3b$
$7b=126$
$b=18$
Тогда $a=42-18=24\text{.}$

Изменение серебряных монет:
В первой операции: получаем 4 серебряных, отдаём 0 серебряных (отдаём только золоты

е) → изменение $+4a\text{.}$
Во второй операции: отдаём 7 серебряных, получаем 0 серебряных → изменение $-7b\text{.}$
Общее изменение серебряных: $4a-7b=4\cdot 24-7\cdot 18=96-126=-30\text{.}$

Ответ: 30