Задача №14234

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;
• за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть первая операция выполнена $a$ раз, вторая — $b$ раз.

После первой операции: золотые $-2a\text{,}$ серебряные $+3a\text{,}$ медные $+a\text{.}$ После второй: золотые $+3b\text{,}$ серебряные $-5b\text{,}$ медные $+b\text{.}$

Итоговое изменение:
золотые: $-2a+3b=0$ (не появились),
серебряные: $3a-5b=\Delta S$ (уменьшились),
медные: $a+b=50\text{.}$

Из первого уравнения:

$$3b=2a\Rightarrow b=\frac{2a}{3}.$$

Подставим в третье уравнение:

$$a+\frac{2a}{3}=50\Rightarrow \frac{5a}{3}=50\Rightarrow a=30,$$

тогда $b=20\text{.}$

Изменение серебряных:

$$3a-5b=3\cdot 30-5\cdot 20=90-100=-10.$$

Значит, уменьшилось на 10.

Ответ: 10