Задача №14188

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных, $z$ — число без ответа.

Условия:
$x+y+z=25\text{,}$
$7x-9y=56\text{,}$
$y⩾1\text{.}$

Выразим $x$ из второго: $7x=56+9y\text{,}$ $x=\frac{56+9y}{7}=8+\frac{9y}{7}\text{.}$

Так как $x$ целое, $9y$ должно делиться на 7, а 9 и 7 взаимно просты, значит $y$ кратно 7.

При $y=7\text{:}$ $x=8+9=17\text{,}$ тогда $z=25-17-7=1\text{.}$

При $y=14\text{:}$ $x=8+18=26\text{,}$ но $x+y=40>25\text{,}$ не подходит.

Значит, $x=17\text{.}$

Ответ: 17 верных ответов.