Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 40 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x — число правильных ответов, y — число неправильных, z — число без ответа. Всего вопросов: x + y + z = 25. Очки: 5x - 9y = 40. Известно, что y 1 . Выразим x из второго уравнения: 5x = 40 + 9y=> x = (40 + 9y)/(5) = 8 + (9y)/(5). Так как x целое, 9y должно делиться на 5, значит y кратно 5. Пусть y = 5t , тогда x = 8 + 9t . Подставляем в первое уравнение: (8 + 9t) + 5t + z = 25=> 8 + 14t + z = 25=> z = 17 - 14t. Так как z 0 и y 1 , то t 1 . При t = 1 : y = 5, x = 8 + 9 = 17, z = 17 - 14 = 3 (неотрицательно). При t = 2 : x = 8 + 18 = 26, но тогда x > 25 , невозможно. Значит, x = 17 . Ответ: 17

\(17\)