Задача №14292

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 40 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных, $z$ — число без ответа.

Всего вопросов:

Очки:

Известно, что $y⩾1\text{.}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

Так как $x$ целое, $9y$ должно делиться на 5, значит $y$ кратно 5. Пусть $y=5t\text{,}$ тогда $x=8+9t\text{.}$

Подставляем в первое уравнение:

Так как $z⩾0$ и $y⩾1\text{,}$ то $t⩾1\text{.}$

При $t=1\text{:}$

При $t=2\text{:}$

но тогда $x>25\text{,}$ невозможно.

Значит, $x=17\text{.}$

Ответ: 17