Задача №14189

Найдите четырёхзначное число, кратное $44\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $1\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$

По условию число кратно $44\text{,}$ что означает одновременную делимость на $4$ и на $11$ (так как $44=4\cdot 11$ и эти множители взаимно просты).

1. Признак делимости на $4\text{:}$ число, образованное последними двумя цифрами ($\overline{cd}$), должно делиться на $4\text{.}$

По условию соседние цифры отличаются на $1\text{,}$ значит, $|c-d|=1\text{.}$ Переберём возможные пары $(c;d)\text{,}$ образующие число, кратное $4\text{:}$

• $12$ (подходит: $12:4=3\text{,}$ $|1-2|=1$);
• $32$ (подходит: $32:4=8\text{,}$ $|3-2|=1$);
• $34;54;74;94$ (не делятся на $4$);
• $56$ (подходит: $56:4=14\text{,}$ $|5-6|=1$);
• $76$ (подходит: $76:4=19\text{,}$ $|7-6|=1$);
• $78;98$ (не делятся на $4$).

2. Признак делимости на $11\text{:}$ знакочередующаяся сумма цифр $a-b+c-d$ должна делиться на $11\text{.}$

Так как любые две соседние цифры отличаются на $1\text{,}$ то:

• $a-b=1$ или $a-b=-1\text{;}$
• $c-d=1$ или $c-d=-1\text{.}$

Следовательно, сумма $(a-b)+(c-d)$ может принимать значения $1+1=2\text{,}$ $1-1=0\text{,}$ $-1+1=0$ или $-1-1=-2\text{.}$ Единственное число из этого набора, кратное $11\text{,}$ — это $0\text{.}$ Значит, должно выполняться равенство:

3. Поиск конкретного числа:

Пусть $\overline{cd}=32\text{.}$ Тогда $c=3\text{,}$ $d=2\text{,}$ откуда $c-d=1\text{.}$ Чтобы сумма была равна $0\text{,}$ нужно, чтобы $a-b=-1\text{,}$ то есть $b=a+1\text{.}$ Также по условию $|b-c|=1\text{.}$ Так как $c=3\text{,}$ то $b$ может быть равно $2$ или $4\text{.}$

• Если $b=2\text{,}$ то $a=b-1=1\text{.}$ Число: $1232\text{.}$

Проверим: $1232:44=28\text{.}$ Соседние цифры: $|1-2|=1\text{,}$ $|2-3|=1\text{,}$ $|3-2|=1\text{.}$ Все условия выполнены.

Другие возможные варианты: $1012;3212;3432;5456;7656;5676;7876\text{.}$

Ответ: $1232$