Задача №14091

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $66\text{,}$ все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое четырёхзначное число должно быть кратно $66\text{.}$ Это означает, что число должно делиться одновременно на $2\text{,}$ $3$ и $11\text{,}$ так как $66=2\cdot 3\cdot 11\text{.}$

1. Делимость на $2\text{:}$ число должно быть чётным. По условию все цифры числа чётные ($0;2;4;6;8$), поэтому это условие выполняется автоматически.

2. Делимость на $3\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $3\text{.}$ Обозначим число как $\overline{abcd}\text{,}$ тогда $a+b+c+d$ кратно $3\text{.}$

3. Делимость на $11\text{:}$ знакочередующаяся сумма цифр $(a+c)-(b+d)$ должна делиться на $11\text{.}$ Поскольку все цифры чётные, разность $(a+c)-(b+d)$ также будет чётной. Единственное чётное число в диапазоне от $-14$ до $14\text{,}$ которое делится на $11\text{,}$ — это $0\text{.}$ Следовательно, $a+c=b+d\text{.}$

4. Подбор цифр:
Если $a+c=b+d\text{,}$ то общая сумма цифр

Чтобы она делилась на $3\text{,}$ сама сумма $a+c$ должна быть кратна $3\text{.}$ Выберем из набора чётных цифр $\{0;2;4;6;8\}$ две пары с одинаковой суммой, кратной $3\text{.}$ Например, сумма $6\text{:}$ пары $\{0;6\}$ и $\{2;4\}\text{.}$

Составим число из цифр $0,2,4,6$ так, чтобы $a+c=6$ и $b+d=6\text{:}$

• Пусть $a=2\text{,}$ $c=4$ (тогда $a+c=6$).
• Пусть $b=0\text{,}$ $d=6$ (тогда $b+d=6$).

Получаем число $2046\text{.}$ Проверим его:

• Все цифры чётные и различны: $2,0,4,6\text{.}$
• Сумма цифр: $2+0+4+6=12$ (делится на $3$).
• Знакочередующаяся сумма: $(2+4)-(0+6)=0$ (делится на $11$).
• $2046:66=31\text{.}$

Другие возможные варианты: $2640\text{,}$ $4026\text{,}$ $4620\text{,}$ $6042\text{,}$ $6402\text{,}$ $8052$ (не подходит по чётности) и другие.

Ответ: $2046$